Resolver (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=8$$

$$x=15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(23-x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

289 lortzeko, egin 17 ber 2.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Kendu 289 bi aldeetatik.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 lortzeko, 529 balioari kendu 289.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+120 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

-23 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=-8$$

Berridatzi x^{2}-23x+120 honela: \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -8 bigarren taldean.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Deskonposatu x-15 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-15=0 eta x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(23-x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

289 lortzeko, egin 17 ber 2.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Kendu 289 bi aldeetatik.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 lortzeko, 529 balioari kendu 289.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -46 balioa b balioarekin, eta 240 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Egin -46 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Gehitu 2116 eta -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Atera 196 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 zenbakiaren aurkakoa 46 da.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{46±14}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 46 eta 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Zatitu 60 balioa 4 balioarekin.

$$x=15$$

Orain, ebatzi x=\frac{46±14}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 14 ken 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Zatitu 32 balioa 4 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=15 x=8$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(23-x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

289 lortzeko, egin 17 ber 2.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Kendu 529 bi aldeetatik.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

-240 lortzeko, 289 balioari kendu 529.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Zatitu -46 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Zatitu -240 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-23x=-120$$

Zatitu -23 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{23}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{23}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{23}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Gehitu -120 eta \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Atera x^{2}-23x+\frac{529}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{23}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=15 x=8$$