Resolver (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Faktorizatu

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Ebazpidea

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena -10x^{2}+ax+bx+22 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -220 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

51 batura duen parea da soluzioa.

$$a=55 b=-4$$

Berridatzi -10x^{2}+51x+22 honela: \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Deskonposatu -5x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Deskonposatu 2x-11 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Egin 51 ber bi.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Egin -4 bider -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Egin 40 bider 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Gehitu 2601 eta 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Atera 3481 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Egin 2 bider -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-51±59}{-20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -51 eta 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Murriztu \frac{8}{-20} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-51±59}{-20} ekuazioa ± minus denean. Egin 59 ken -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Murriztu \frac{-110}{-20} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{11}{2}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu -\frac{2}{5} x_{1} faktorean, eta \frac{11}{2} x_{2} faktorean.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Gehitu \frac{2}{5} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Egin \frac{11}{2} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Egin \frac{-5x-2}{-5} bider \frac{-2x+11}{-2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Egin -5 bider -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Deuseztatu -10 eta 10 balioen faktore komunetan handiena (10).

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Ebaluatu

$$22+51x-10x^{2}$$