Resolver (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0.536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1.863324958$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(2y+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

5y^{2} lortzeko, konbinatu 4y^{2} eta y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

5 lortzeko, 9 balioari kendu 4.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 12 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Egin 12 ber bi.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Gehitu 144 eta -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Atera 44 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -12 eta 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Zatitu -12+2\sqrt{11} balioa 10 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{11} ken -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Zatitu -12-2\sqrt{11} balioa 10 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(2y+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

5y^{2} lortzeko, konbinatu 4y^{2} eta y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

-5 lortzeko, 4 balioari kendu 9.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Zatitu -5 balioa 5 balioarekin.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Zatitu \frac{12}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{6}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{6}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{6}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Gehitu -1 eta \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Atera y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Egin ken \frac{6}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$