Resolver (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(2x-3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x lortzeko, konbinatu -12x eta -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 lortzeko, 9 balioari kendu 25.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Gehitu 23 bi aldeetan.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 lortzeko, gehitu -16 eta 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 21 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

-22 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-21 b=-1$$

Berridatzi 3x^{2}-22x+7 honela: \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(2x-3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x lortzeko, konbinatu -12x eta -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 lortzeko, 9 balioari kendu 25.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Gehitu 23 bi aldeetan.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7 lortzeko, gehitu -16 eta 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -22 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Egin -22 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Gehitu 484 eta -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Atera 400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 zenbakiaren aurkakoa 22 da.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{22±20}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 22 eta 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Zatitu 42 balioa 6 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{22±20}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 20 ken 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Murriztu \frac{2}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(2x-3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22x lortzeko, konbinatu -12x eta -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16 lortzeko, 9 balioari kendu 25.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Gehitu 16 bi aldeetan.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-7 lortzeko, gehitu -23 eta 16.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Zatitu -\frac{22}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Gehitu -\frac{7}{3} eta \frac{121}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$