Resolver (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Ebatzi: x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Erabili banaketa-propietatea 2x+3 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-4 eta x+40 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x lortzeko, konbinatu -32x eta 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 lortzeko, -48 balioari kendu 160.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-4 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-8 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Kendu 2x^{3} bi aldeetatik.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 lortzeko, konbinatu 2x^{3} eta -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Gehitu 32x bi aldeetan.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x lortzeko, konbinatu 4x eta 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Gehitu 8x^{2} bi aldeetan.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Kendu 128 bi aldeetatik.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 lortzeko, -208 balioari kendu 128.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-28 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -28 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=7$$

Berridatzi x^{2}+3x-28 honela: \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 2x+3 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-4 eta x+40 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x lortzeko, konbinatu -32x eta 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 lortzeko, -48 balioari kendu 160.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-4 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-8 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Kendu 2x^{3} bi aldeetatik.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 lortzeko, konbinatu 2x^{3} eta -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Gehitu 32x bi aldeetan.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x lortzeko, konbinatu 4x eta 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Gehitu 8x^{2} bi aldeetan.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Kendu 128 bi aldeetatik.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

-336 lortzeko, -208 balioari kendu 128.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 12 balioa a balioarekin, 36 balioa b balioarekin, eta -336 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Egin 36 ber bi.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Egin -4 bider 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Egin -48 bider -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Gehitu 1296 eta 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Atera 17424 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Egin 2 bider 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-36±132}{24} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -36 eta 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Zatitu 96 balioa 24 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{-36±132}{24} ekuazioa ± minus denean. Egin 132 ken -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Zatitu -168 balioa 24 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=-7$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 2x+3 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-4 eta x+40 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 3x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

4x lortzeko, konbinatu -32x eta 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-208 lortzeko, -48 balioari kendu 160.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-4 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-8 eta x^{2}-16 biderkatzeko.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Kendu 2x^{3} bi aldeetatik.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

0 lortzeko, konbinatu 2x^{3} eta -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Gehitu 32x bi aldeetan.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

36x lortzeko, konbinatu 4x eta 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Gehitu 8x^{2} bi aldeetan.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Gehitu 208 bi aldeetan.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

336 lortzeko, gehitu 128 eta 208.

$$36x+12x^{2}=336$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$12x^{2}+36x=336$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

12 balioarekin zatituz gero, 12 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Zatitu 36 balioa 12 balioarekin.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Zatitu 336 balioa 12 balioarekin.

$$x^{2}+3x=28$$

Zatitu 3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Gehitu 28 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Atera x^{2}+3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=-7$$