Resolver (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(2x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

225 lortzeko, egin 15 ber 2.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 lortzeko, 9 balioari kendu 225.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

100 lortzeko, egin 10 ber 2.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 lortzeko, 100 balioari kendu 1.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Kendu 99 bi aldeetatik.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-315 lortzeko, -216 balioari kendu 99.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

10x lortzeko, konbinatu 12x eta -2x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-63 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -63 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-7 b=9$$

Berridatzi x^{2}+2x-63 honela: \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 9 bigarren taldean.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Deskonposatu x-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-7=0 eta x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(2x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

225 lortzeko, egin 15 ber 2.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 lortzeko, 9 balioari kendu 225.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

100 lortzeko, egin 10 ber 2.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 lortzeko, 100 balioari kendu 1.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Kendu 99 bi aldeetatik.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

-315 lortzeko, -216 balioari kendu 99.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

10x lortzeko, konbinatu 12x eta -2x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -315 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Gehitu 100 eta 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Atera 6400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±80}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Zatitu 70 balioa 10 balioarekin.

$$x=7$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±80}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 80 ken -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Zatitu -90 balioa 10 balioarekin.

$$x=-9$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=7 x=-9$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(2x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

225 lortzeko, egin 15 ber 2.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

-216 lortzeko, 9 balioari kendu 225.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

100 lortzeko, egin 10 ber 2.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

x^{2}-2x+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

99 lortzeko, 100 balioari kendu 1.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

10x lortzeko, konbinatu 12x eta -2x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Gehitu 216 bi aldeetan.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

315 lortzeko, gehitu 99 eta 216.

$$5x^{2}+10x=315$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Zatitu 10 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Zatitu 315 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}+2x=63$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Gehitu 63 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7 x=-9$$