Resolver (sqrt{x+2}+sqrt{18-x})^2=(sqrt{10+13x})^2

$$( \sqrt { x + 2 } + \sqrt { 18 - x } ) ^ { 2 } = ( \sqrt { 10 + 13 x } ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

Ebazpidea

\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{18-x}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}+\left(\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2}$$

x+2 lortzeko, egin \sqrt{x+2} ber 2.

$$x+2+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}+\left(\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2}$$

18-x lortzeko, egin \sqrt{18-x} ber 2.

$$x+2+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}+18-x=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2}$$

20 lortzeko, gehitu 2 eta 18.

$$x+20+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}-x=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x eta -x.

$$20+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2}$$

10+13x lortzeko, egin \sqrt{10+13x} ber 2.

$$20+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}=10+13x$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$20+2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}-13x=10$$

Kendu 20 bi aldeetatik.

$$2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}-13x=10-20$$

-10 lortzeko, 10 balioari kendu 20.

$$2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}-13x=-10$$

Egin ken -13x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}=-10+13x$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(13x-10\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{x+2}\sqrt{18-x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}\left(\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(13x-10\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}\left(\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(13x-10\right)^{2}$$

x+2 lortzeko, egin \sqrt{x+2} ber 2.

$$4\left(x+2\right)\left(\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(13x-10\right)^{2}$$

18-x lortzeko, egin \sqrt{18-x} ber 2.

$$4\left(x+2\right)\left(18-x\right)=\left(13x-10\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+2 biderkatzeko.

$$\left(4x+8\right)\left(18-x\right)=\left(13x-10\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4x+8 eta 18-x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$64x-4x^{2}+144=\left(13x-10\right)^{2}$$

\left(13x-10\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$64x-4x^{2}+144=169x^{2}-260x+100$$

Kendu 169x^{2} bi aldeetatik.

$$64x-4x^{2}+144-169x^{2}=-260x+100$$

-173x^{2} lortzeko, konbinatu -4x^{2} eta -169x^{2}.

$$64x-173x^{2}+144=-260x+100$$

Gehitu 260x bi aldeetan.

$$64x-173x^{2}+144+260x=100$$

324x lortzeko, konbinatu 64x eta 260x.

$$324x-173x^{2}+144=100$$

Kendu 100 bi aldeetatik.

$$324x-173x^{2}+144-100=0$$

44 lortzeko, 144 balioari kendu 100.

$$324x-173x^{2}+44=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-173x^{2}+324x+44=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -173x^{2}+ax+bx+44 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=324 ab=-173\times 44=-7612$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -7612 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,7612 -2,3806 -4,1903 -11,692 -22,346 -44,173$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+7612=7611 -2+3806=3804 -4+1903=1899 -11+692=681 -22+346=324 -44+173=129$$

324 batura duen parea da soluzioa.

$$a=346 b=-22$$

Berridatzi -173x^{2}+324x+44 honela: \left(-173x^{2}+346x\right)+\left(-22x+44\right).

$$\left(-173x^{2}+346x\right)+\left(-22x+44\right)$$

Deskonposatu 173x lehen taldean, eta 22 bigarren taldean.

$$173x\left(-x+2\right)+22\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+2\right)\left(173x+22\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+2=0 eta 173x+22=0.

$$x=2 x=-\frac{22}{173}$$

Ordeztu 2 balioa x balioarekin \left(\sqrt{x+2}+\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2} ekuazioan.

$$\left(\sqrt{2+2}+\sqrt{18-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13\times 2}\right)^{2}$$

Sinplifikatu. x=2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$36=36$$

Ordeztu -\frac{22}{173} balioa x balioarekin \left(\sqrt{x+2}+\sqrt{18-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13x}\right)^{2} ekuazioan.

$$\left(\sqrt{-\frac{22}{173}+2}+\sqrt{18-\left(-\frac{22}{173}\right)}\right)^{2}=\left(\sqrt{10+13\left(-\frac{22}{173}\right)}\right)^{2}$$

Sinplifikatu. x=-\frac{22}{173} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$\frac{5476}{173}=\frac{1444}{173}$$

2\sqrt{18-x}\sqrt{x+2}=13x-10 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=2$$