Resolver (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24.4375-5.273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24.4375+5.273385416i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\frac{6}{25+x} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Adierazi \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x frakzio bakar gisa.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

36 lortzeko, egin 6 ber 2.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

\left(25+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Kendu 32 bi aldeetatik.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

625+50x+x^{2} faktorea.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 32 bider \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} eta \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak kendu behar dituzu zatikien kendura kalkulatzeko.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Egin biderketak 36x-32\left(x+25\right)^{2} zatikian.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Konbinatu hemengo antzeko gaiak: 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

x aldagaia eta -25 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -32 balioa a balioarekin, -1564 balioa b balioarekin, eta -20000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Egin -1564 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Egin -4 bider -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Egin 128 bider -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Gehitu 2446096 eta -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Atera -113904 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

-1564 zenbakiaren aurkakoa 1564 da.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Egin 2 bider -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1564 eta 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Zatitu 1564+12i\sqrt{791} balioa -64 balioarekin.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} ekuazioa ± minus denean. Egin 12i\sqrt{791} ken 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Zatitu 1564-12i\sqrt{791} balioa -64 balioarekin.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Karratua osatzeko urratsak

\frac{6}{25+x} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Adierazi \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x frakzio bakar gisa.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

36 lortzeko, egin 6 ber 2.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

\left(25+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

x aldagaia eta -25 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

\left(x+25\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 32 eta x^{2}+50x+625 biderkatzeko.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Kendu 32x^{2} bi aldeetatik.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Kendu 1600x bi aldeetatik.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

-1564x lortzeko, konbinatu 36x eta -1600x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -32 balioarekin.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

-32 balioarekin zatituz gero, -32 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Murriztu \frac{-1564}{-32} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Zatitu 20000 balioa -32 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Zatitu \frac{391}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{391}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{391}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Egin \frac{391}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Gehitu -625 eta \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Atera x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Egin ken \frac{391}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$