Resolver y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Ebatzi: y

$$y=6$$

$$y=9$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Gehitu 54 bi aldeetan.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu y^{2}-15y+54 formula hau erabilita: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 54 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

-15 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=-6$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(y+a\right)\left(y+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-9=0 eta y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Gehitu 54 bi aldeetan.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by+54 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 54 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

-15 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=-6$$

Berridatzi y^{2}-15y+54 honela: \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Deskonposatu y lehen taldean, eta -6 bigarren taldean.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Deskonposatu y-9 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-9=0 eta y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$y^{2}-15y=-54$$

Gehitu 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

-54 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Egin -54 ken 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 54 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Egin -15 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Egin -4 bider 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Gehitu 225 eta -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{15±3}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Zatitu 18 balioa 2 balioarekin.

$$y=9$$

Orain, ebatzi y=\frac{15±3}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Zatitu 12 balioa 2 balioarekin.

$$y=6$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=9 y=6$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$y^{2}-15y=-54$$

Zatitu -15 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Gehitu -54 eta \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera y^{2}-15y+\frac{225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=9 y=6$$