Resolver x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$x^{2}-x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Ebatzi x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Biderkadura positiboa izan dadin, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} eta x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} balioak negatiboak edo positiboak izan behar dira. Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} eta x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} balioak negatiboak direnean.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} da.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} eta x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} balioak positiboak direnean.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x>\frac{\sqrt{5}+1}{2} da.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$