Resolver x^2-x+1=0

$${ x }^{ 2 } -x+1=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0.5-0.866025404i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

Gehitu 1 eta -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

Atera -3 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{3} ken 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-x=-1$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$