Resolver x^2-9x-70=0

$${ x }^{ 2 } -9x-70 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=14$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-9x-70 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=-70$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -70 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-14 b=5$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-14=0 eta x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-70 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=1\left(-70\right)=-70$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -70 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-14 b=5$$

Berridatzi x^{2}-9x-70 honela: \left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(x-14\right)+5\left(x-14\right)$$

Deskonposatu x-14 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-14=0 eta x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta -70 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-70\right)}}{2}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-70\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -70.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2}$$

Gehitu 81 eta 280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±19}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±19}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 19.

$$x=\frac{28}{2}$$

Zatitu 28 balioa 2 balioarekin.

$$x=14$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±19}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken 9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Zatitu -10 balioa 2 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=14 x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Gehitu 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-9x-70-\left(-70\right)=-\left(-70\right)$$

-70 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-9x=-\left(-70\right)$$

Egin -70 ken 0.

$$x^{2}-9x=70$$

Zatitu -9 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=70+\frac{81}{4}$$

Gehitu 70 eta \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{361}{4}$$

Atera x^{2}-9x+\frac{81}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{19}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=14 x=-5$$