Resolver x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta 11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Egin -6 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Egin -4 bider 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Gehitu 36 eta -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Atera -8 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6 zenbakiaren aurkakoa 6 da.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 6 eta 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Zatitu 6+2i\sqrt{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{2} ken 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Zatitu 6-2i\sqrt{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-6x=-11$$

Zatitu -6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Gehitu -11 eta 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Atera x^{2}-6x+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sinplifikatu.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$