Resolver x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$x^{2}-3x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Ebatzi x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} eta x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} positiboa denean etax-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negatiboa denean.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} positiboa denean etax-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negatiboa denean.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right) da.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$