Resolver x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Ebatzi: x

$$x=8$$

$$x=13$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-21x+104 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-21 ab=104$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 104 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

-21 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-13 b=-8$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-13=0 eta x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+104 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 104 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

-21 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-13 b=-8$$

Berridatzi x^{2}-21x+104 honela: \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -8 bigarren taldean.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Deskonposatu x-13 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-13=0 eta x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -21 balioa b balioarekin, eta 104 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Egin -21 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Egin -4 bider 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Gehitu 441 eta -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

-21 zenbakiaren aurkakoa 21 da.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{21±5}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 21 eta 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Zatitu 26 balioa 2 balioarekin.

$$x=13$$

Orain, ebatzi x=\frac{21±5}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Zatitu 16 balioa 2 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=13 x=8$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Egin ken 104 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

104 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-21x=-104$$

Zatitu -21 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{21}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{21}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{21}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Gehitu -104 eta \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera x^{2}-21x+\frac{441}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{21}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=13 x=8$$