Resolver x^2-5/2x-1/2=0

$${ x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x- \frac{ 1 }{ 2 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{33} + 5}{4} \approx 2.686140662$$

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}\approx -0.186140662$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -\frac{5}{2} balioa b balioarekin, eta -\frac{1}{2} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{25}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{25}{4}+2}}{2}$$

Gehitu \frac{25}{4} eta 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\frac{33}{4}}}{2}$$

Atera \frac{33}{4} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}$$

-\frac{5}{2} zenbakiaren aurkakoa \frac{5}{2} da.

$$x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{\sqrt{33}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2\times 2}$$

Zatitu \frac{5+\sqrt{33}}{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{33}}{2}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{\sqrt{33}}{2} ken \frac{5}{2}.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Zatitu \frac{5-\sqrt{33}}{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

-\frac{1}{2} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Egin -\frac{1}{2} ken 0.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{5}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{25}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{33}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$$