Resolver x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Gehitu 1 eta -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Atera -3 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{3} ken -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+x=-1$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$