Resolver x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2.5-0.866025404i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Gehitu 25 eta -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Atera -3 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{3} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+5x=-7$$

Zatitu 5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Gehitu -7 eta \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}+5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$