Resolver x^2+5/x^2=1

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 5 }{ { x }^{ 2 } } =1$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1.169629851+0.931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1.169629851-0.931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\approx 1.169629851-0.931683417i$$

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\approx -1.169629851+0.931683417i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: x^{2}.

$$x^{2}x^{2}+5=x^{2}$$

Berrekizun bereko berreturak biderkatzeko, gehitu haien berretzaileak. 4 lortzeko, gehitu 2 eta 2.

$$x^{4}+5=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{4}+5-x^{2}=0$$

Ordeztu t balioa x^{2} balioarekin.

$$t^{2}-t+5=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2}$$

Ebatzi t=\frac{1±\sqrt{-19}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} t=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

x=t^{2} denez, t bakoitzarekin x=±\sqrt{t} ebaluatuz lortzen dira soluzioak.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}} x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}$$

x aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak.

$$x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i}{2}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[4]{5}e^{\frac{\arctan(\sqrt{19})i+2\pi i}{2}}\text{, }x\neq 0$$