Resolver left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19.95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1.95445115$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x+14\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

6x lortzeko, konbinatu 28x eta -22x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

75 lortzeko, 196 balioari kendu 121.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Gehitu 12x bi aldeetan.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

18x lortzeko, konbinatu 6x eta 12x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Kendu 36 bi aldeetatik.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

39 lortzeko, 75 balioari kendu 36.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 18 balioa b balioarekin, eta 39 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 18 ber bi.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 324 eta 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 480 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -18 eta 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Zatitu -18+4\sqrt{30} balioa -2 balioarekin.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{30} ken -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Zatitu -18-4\sqrt{30} balioa -2 balioarekin.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x+14\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

x^{2}+22x+121 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

6x lortzeko, konbinatu 28x eta -22x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

75 lortzeko, 196 balioari kendu 121.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Gehitu 12x bi aldeetan.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

18x lortzeko, konbinatu 6x eta 12x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Kendu 75 bi aldeetatik.

$$18x-x^{2}=36-75$$

-39 lortzeko, 36 balioari kendu 75.

$$18x-x^{2}=-39$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Zatitu 18 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Zatitu -39 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-18x=39$$

Zatitu -18 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -9 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -9 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Egin -9 ber bi.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Gehitu 39 eta 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Atera x^{2}-18x+81 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Sinplifikatu.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$