Resolver {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

0 lortzeko, biderkatu 0 eta 5.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Edozein zenbaki bider zero zero da.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0 lortzeko, egin 0 ber 2.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(5-15x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

25 lortzeko, gehitu 0 eta 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(1+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

24 lortzeko, 25 balioari kendu 1.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

-152x lortzeko, konbinatu -150x eta -2x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

224x^{2} lortzeko, konbinatu 225x^{2} eta -x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 224 balioa a balioarekin, -152 balioa b balioarekin, eta 24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Egin -152 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Egin -4 bider 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Egin -896 bider 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Gehitu 23104 eta -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Atera 1600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

-152 zenbakiaren aurkakoa 152 da.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Egin 2 bider 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Orain, ebatzi x=\frac{152±40}{448} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 152 eta 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Murriztu \frac{192}{448} zatikia gai txikienera, 64 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{152±40}{448} ekuazioa ± minus denean. Egin 40 ken 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Murriztu \frac{112}{448} zatikia gai txikienera, 112 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

0 lortzeko, biderkatu 0 eta 5.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Edozein zenbaki bider zero zero da.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

0 lortzeko, egin 0 ber 2.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(5-15x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

25 lortzeko, gehitu 0 eta 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

\left(1+x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

-152x lortzeko, konbinatu -150x eta -2x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

224x^{2} lortzeko, konbinatu 225x^{2} eta -x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Kendu 25 bi aldeetatik.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

-24 lortzeko, 1 balioari kendu 25.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 224 balioarekin.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

224 balioarekin zatituz gero, 224 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Murriztu \frac{-152}{224} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Murriztu \frac{-24}{224} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Zatitu -\frac{19}{28} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{19}{56} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{19}{56} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Egin -\frac{19}{56} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Gehitu -\frac{3}{28} eta \frac{361}{3136} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Atera x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Gehitu \frac{19}{56} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$