Resolver sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

x+3 lortzeko, egin \sqrt{x+3} ber 2.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

x+6 lortzeko, egin \sqrt{x+6} ber 2.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

2x lortzeko, konbinatu x eta x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

9 lortzeko, gehitu 3 eta 6.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

x+11 lortzeko, egin \sqrt{x+11} ber 2.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Egin ken 2x+9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

2x+9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

2 lortzeko, 11 balioari kendu 9.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

x+3 lortzeko, egin \sqrt{x+3} ber 2.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

x+6 lortzeko, egin \sqrt{x+6} ber 2.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3 biderkatzeko.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aplikatu banaketa-propietatea, 4x+12 funtzioaren gaiak x+6 funtzioaren gaiekin biderkatuz.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

36x lortzeko, konbinatu 24x eta 12x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

\left(-x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

40x lortzeko, konbinatu 36x eta 4x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

68 lortzeko, 72 balioari kendu 4.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+68 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 204 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

40 batura duen parea da soluzioa.

$$a=6 b=34$$

Berridatzi 3x^{2}+40x+68 honela: \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 34 bigarren taldean.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Deskonposatu x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x+2=0 eta 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Ordeztu -\frac{34}{3} balioa x balioarekin \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ekuazioan. \sqrt{-\frac{34}{3}+3} adierazpena definitu gabe dago, errokizuna ezin baita negatiboa izan.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Ordeztu -2 balioa x balioarekin \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ekuazioan.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Sinplifikatu. x=-2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$3=3$$

\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=-2$$