Resolver sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

x lortzeko, egin \sqrt{x} ber 2.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$x-x^{2}+2x=1$$

3x lortzeko, konbinatu x eta 2x.

$$3x-x^{2}=1$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 9 eta -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Zatitu -3+\sqrt{5} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{5} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Zatitu -3-\sqrt{5} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ordeztu \frac{3-\sqrt{5}}{2} balioa x balioarekin \sqrt{x}=x-1 ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Sinplifikatu. x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} balioak ez du betetzen ekuazioa, ezker eta eskuineko aldeek kontrako zeinuak baitauzkate.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Ordeztu \frac{\sqrt{5}+3}{2} balioa x balioarekin \sqrt{x}=x-1 ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Sinplifikatu. x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} balioak ekuazioa betetzen du.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

\sqrt{x}=x-1 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$