Resolver sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Ebatzi: x

$$x=14$$

$$x=6$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

2x-3 lortzeko, egin \sqrt{2x-3} ber 2.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

x-5 lortzeko, egin \sqrt{x-5} ber 2.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

-1 lortzeko, 4 balioari kendu 5.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Egin ken -1+x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

-1+x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\left(x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Garatu \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

16 lortzeko, egin 4 ber 2.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

x-5 lortzeko, egin \sqrt{x-5} ber 2.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta x-5 biderkatzeko.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Kendu 16x bi aldeetatik.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

-20x lortzeko, konbinatu -4x eta -16x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Gehitu 80 bi aldeetan.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

84 lortzeko, gehitu 4 eta 80.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-20x+84 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-20 ab=84$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 84 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

-20 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-14 b=-6$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-14=0 eta x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Ordeztu 14 balioa x balioarekin \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} ekuazioan.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Sinplifikatu. x=14 balioak ekuazioa betetzen du.

$$5=5$$

Ordeztu 6 balioa x balioarekin \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} ekuazioan.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Sinplifikatu. x=6 balioak ekuazioa betetzen du.

$$3=3$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$