Resolver sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Ebatzi: x

$$x=3$$

Ebazpidea

Egin ken \sqrt{2x-2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

x-3 lortzeko, egin \sqrt{x-3} ber 2.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

2x-2 lortzeko, egin \sqrt{2x-2} ber 2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Egin ken 2+2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

2+2x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

-5 lortzeko, -3 balioari kendu 2.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\left(-x-5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Garatu \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

16 lortzeko, egin -4 ber 2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

2x-2 lortzeko, egin \sqrt{2x-2} ber 2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 2x-2 biderkatzeko.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Kendu 32x bi aldeetatik.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

-22x lortzeko, konbinatu 10x eta -32x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Gehitu 32 bi aldeetan.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

57 lortzeko, gehitu 25 eta 32.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}-22x+57 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-22 ab=57$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 57 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-57 -3,-19$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

-22 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-19 b=-3$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-19=0 eta x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Ordeztu 19 balioa x balioarekin \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 ekuazioan.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Sinplifikatu. x=19 balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$10=2$$

Ordeztu 3 balioa x balioarekin \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 ekuazioan.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Sinplifikatu. x=3 balioak ekuazioa betetzen du.

$$2=2$$

\sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=3$$