Resolver sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2.111111111-2.514157444i$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

x-1 lortzeko, egin \sqrt{x-1} ber 2.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

3 lortzeko, gehitu -1 eta 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

x+3 lortzeko, egin \sqrt{x+3} ber 2.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3 biderkatzeko.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Egin ken x+3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

x+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

3x lortzeko, konbinatu 4x eta -x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

9 lortzeko, 12 balioari kendu 3.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Garatu \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

16 lortzeko, egin -4 ber 2.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

x-1 lortzeko, egin \sqrt{x-1} ber 2.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta x-1 biderkatzeko.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

\left(3x+9\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Kendu 9x^{2} bi aldeetatik.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Kendu 54x bi aldeetatik.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

-38x lortzeko, konbinatu 16x eta -54x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Kendu 81 bi aldeetatik.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

-97 lortzeko, -16 balioari kendu 81.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -9 balioa a balioarekin, -38 balioa b balioarekin, eta -97 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin -38 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin -4 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Egin 36 bider -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Gehitu 1444 eta -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Atera -2048 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

-38 zenbakiaren aurkakoa 38 da.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Egin 2 bider -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 38 eta 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Zatitu 38+32i\sqrt{2} balioa -18 balioarekin.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} ekuazioa ± minus denean. Egin 32i\sqrt{2} ken 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Zatitu 38-32i\sqrt{2} balioa -18 balioarekin.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ordeztu \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} balioa x balioarekin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Sinplifikatu. x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} balioak ekuazioa betetzen du.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ordeztu \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} balioa x balioarekin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Sinplifikatu. x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ordeztu \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} balioa x balioarekin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Sinplifikatu. x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} balioak ekuazioa betetzen du.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$