Resolver sqrt{x^2-2x+10}+2x+1=0

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 10 } + 2 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-3$$

Ebazpidea

Egin ken 2x+1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-\left(2x+1\right)$$

2x+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x^{2}-2x+10}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

x^{2}-2x+10 lortzeko, egin \sqrt{x^{2}-2x+10} ber 2.

$$x^{2}-2x+10=\left(-2x-1\right)^{2}$$

\left(-2x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+10=4x^{2}+4x+1$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-2x+10-4x^{2}=4x+1$$

-3x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -4x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+10=4x+1$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$-3x^{2}-2x+10-4x=1$$

-6x lortzeko, konbinatu -2x eta -4x.

$$-3x^{2}-6x+10=1$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$-3x^{2}-6x+10-1=0$$

9 lortzeko, 10 balioari kendu 1.

$$-3x^{2}-6x+9=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=1 b=-3$$

Berridatzi -x^{2}-2x+3 honela: \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu -x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+1=0 eta x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Ordeztu 1 balioa x balioarekin \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0 ekuazioan.

$$\sqrt{1^{2}-2+10}+2\times 1+1=0$$

Sinplifikatu. x=1 balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$6=0$$

Ordeztu -3 balioa x balioarekin \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0 ekuazioan.

$$\sqrt{\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)+10}+2\left(-3\right)+1=0$$

Sinplifikatu. x=-3 balioak ekuazioa betetzen du.

$$0=0$$

\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=-3$$