Resolver sqrt{x+5}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 5 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \approx 1.458618735$$

Ebazpidea

Egin ken -\sqrt{3x-2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{3x-2}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

x+5 lortzeko, egin \sqrt{x+5} ber 2.

$$x+5=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

3x-2 lortzeko, egin \sqrt{3x-2} ber 2.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

-1 lortzeko, 1 balioari kendu 2.

$$x+5=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Egin ken -1+3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$x+5-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

-1+3x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x+5+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

6 lortzeko, gehitu 5 eta 1.

$$x+6-3x=2\sqrt{3x-2}$$

-2x lortzeko, konbinatu x eta -3x.

$$-2x+6=2\sqrt{3x-2}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(-2x+6\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

3x-2 lortzeko, egin \sqrt{3x-2} ber 2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 3x-2 biderkatzeko.

$$4x^{2}-24x+36=12x-8$$

Kendu 12x bi aldeetatik.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-8$$

-36x lortzeko, konbinatu -24x eta -12x.

$$4x^{2}-36x+36=-8$$

Gehitu 8 bi aldeetan.

$$4x^{2}-36x+36+8=0$$

44 lortzeko, gehitu 36 eta 8.

$$4x^{2}-36x+44=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -36 balioa b balioarekin, eta 44 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Egin -36 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 44}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 44.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-704}}{2\times 4}$$

Gehitu 1296 eta -704.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{592}}{2\times 4}$$

Atera 592 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

-36 zenbakiaren aurkakoa 36 da.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 36 eta 4\sqrt{37}.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+36}{8}$$

Zatitu 36+4\sqrt{37} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{37} ken 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{37}}{8}$$

Zatitu 36-4\sqrt{37} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Ordeztu \frac{\sqrt{37}+9}{2} balioa x balioarekin \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1 ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{37}+9}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{\sqrt{37}+9}{2}-2}=1$$

Sinplifikatu. x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} balioak ez du betetzen ekuazioa, ezker eta eskuineko aldeek kontrako zeinuak baitauzkate.

$$-1=1$$

Ordeztu \frac{9-\sqrt{37}}{2} balioa x balioarekin \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1 ekuazioan.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{37}}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{9-\sqrt{37}}{2}-2}=1$$

Sinplifikatu. x=\frac{9-\sqrt{37}}{2} balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

\sqrt{x+5}=\sqrt{3x-2}+1 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$