Resolver sqrt{x+2}+1=sqrt{3x+3}

$$\sqrt { x + 2 } + 1 = \sqrt { 3 x + 3 }$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

x+2 lortzeko, egin \sqrt{x+2} ber 2.

$$x+2+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

3x+3 lortzeko, egin \sqrt{3x+3} ber 2.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=3x+3$$

Egin ken x+3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-\left(x+3\right)$$

x+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-x-3$$

2x lortzeko, konbinatu 3x eta -x.

$$2\sqrt{x+2}=2x+3-3$$

0 lortzeko, 3 balioari kendu 3.

$$2\sqrt{x+2}=2x$$

Sinplifikatu 2 bi aldeetan.

$$\sqrt{x+2}=x$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=x^{2}$$

x+2 lortzeko, egin \sqrt{x+2} ber 2.

$$x+2=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x+2-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=2 b=-1$$

Berridatzi -x^{2}+x+2 honela: \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Ordeztu 2 balioa x balioarekin \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Sinplifikatu. x=2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$3=3$$

Ordeztu -1 balioa x balioarekin \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+3}$$

Sinplifikatu. x=-1 balioak ez du betetzen ekuazioa.

$$2=0$$

Ordeztu 2 balioa x balioarekin \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} ekuazioan.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Sinplifikatu. x=2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$3=3$$

\sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=2$$