Resolver sqrt{q+2}+1=sqrt{3q+7}

$$\sqrt { q + 2 } + 1 = \sqrt { 3 q + 7 }$$

Ebatzi: q

$$q=-1$$

$$q=-2$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

q+2 lortzeko, egin \sqrt{q+2} ber 2.

$$q+2+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

3q+7 lortzeko, egin \sqrt{3q+7} ber 2.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=3q+7$$

Egin ken q+3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-\left(q+3\right)$$

q+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-q-3$$

2q lortzeko, konbinatu 3q eta -q.

$$2\sqrt{q+2}=2q+7-3$$

4 lortzeko, 7 balioari kendu 3.

$$2\sqrt{q+2}=2q+4$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Garatu \left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

q+2 lortzeko, egin \sqrt{q+2} ber 2.

$$4\left(q+2\right)=\left(2q+4\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta q+2 biderkatzeko.

$$4q+8=\left(2q+4\right)^{2}$$

\left(2q+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4q+8=4q^{2}+16q+16$$

Kendu 4q^{2} bi aldeetatik.

$$4q+8-4q^{2}=16q+16$$

Kendu 16q bi aldeetatik.

$$4q+8-4q^{2}-16q=16$$

-12q lortzeko, konbinatu 4q eta -16q.

$$-12q+8-4q^{2}=16$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$-12q+8-4q^{2}-16=0$$

-8 lortzeko, 8 balioari kendu 16.

$$-12q-8-4q^{2}=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$-3q-2-q^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-q^{2}-3q-2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -q^{2}+aq+bq-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-1 b=-2$$

Berridatzi -q^{2}-3q-2 honela: \left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right).

$$\left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right)$$

Deskonposatu q lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$q\left(-q-1\right)+2\left(-q-1\right)$$

Deskonposatu -q-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-q-1\right)\left(q+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -q-1=0 eta q+2=0.

$$q=-1 q=-2$$

Ordeztu -1 balioa q balioarekin \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7} ekuazioan.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+7}$$

Sinplifikatu. q=-1 balioak ekuazioa betetzen du.

$$2=2$$

Ordeztu -2 balioa q balioarekin \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7} ekuazioan.

$$\sqrt{-2+2}+1=\sqrt{3\left(-2\right)+7}$$

Sinplifikatu. q=-2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$q=-1 q=-2$$