Resolver sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

7x+67 lortzeko, egin \sqrt{7x+67} ber 2.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

\left(2x+5\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Kendu 4x^{2} bi aldeetatik.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Kendu 20x bi aldeetatik.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

-13x lortzeko, konbinatu 7x eta -20x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Kendu 25 bi aldeetatik.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

42 lortzeko, 67 balioari kendu 25.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -4x^{2}+ax+bx+42 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -168 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

-13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=8 b=-21$$

Berridatzi -4x^{2}-13x+42 honela: \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 21 bigarren taldean.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+2=0 eta 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Ordeztu 2 balioa x balioarekin \sqrt{7x+67}=2x+5 ekuazioan.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Sinplifikatu. x=2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$9=9$$

Ordeztu -\frac{21}{4} balioa x balioarekin \sqrt{7x+67}=2x+5 ekuazioan.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Sinplifikatu. x=-\frac{21}{4} balioak ez du betetzen ekuazioa, ezker eta eskuineko aldeek kontrako zeinuak baitauzkate.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

\sqrt{7x+67}=2x+5 ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=2$$