Resolver sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

5x-1 lortzeko, egin \sqrt{5x-1} ber 2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

3x-2 lortzeko, egin \sqrt{3x-2} ber 2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

8x lortzeko, konbinatu 5x eta 3x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

-3 lortzeko, -1 balioari kendu 2.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

x-1 lortzeko, egin \sqrt{x-1} ber 2.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Egin ken 8x-3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

8x-3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

-7x lortzeko, konbinatu x eta -8x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Garatu \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin -2 ber 2.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

5x-1 lortzeko, egin \sqrt{5x-1} ber 2.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

3x-2 lortzeko, egin \sqrt{3x-2} ber 2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 5x-1 biderkatzeko.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aplikatu banaketa-propietatea, 20x-4 funtzioaren gaiak 3x-2 funtzioaren gaiekin biderkatuz.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

-52x lortzeko, konbinatu -40x eta -12x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

\left(-7x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Kendu 49x^{2} bi aldeetatik.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

11x^{2} lortzeko, konbinatu 60x^{2} eta -49x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Gehitu 28x bi aldeetan.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

-24x lortzeko, konbinatu -52x eta 28x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

4 lortzeko, 8 balioari kendu 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 11x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 44 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

-24 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-22 b=-2$$

Berridatzi 11x^{2}-24x+4 honela: \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Deskonposatu 11x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Ordeztu \frac{2}{11} balioa x balioarekin \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ekuazioan. \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} adierazpena definitu gabe dago, errokizuna ezin baita negatiboa izan.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Ordeztu 2 balioa x balioarekin \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ekuazioan.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Sinplifikatu. x=2 balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=2$$