Resolver sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Ebazpidea

Egin ken -\sqrt{15+x^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

25-x^{2} lortzeko, egin \sqrt{25-x^{2}} ber 2.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

15+x^{2} lortzeko, egin \sqrt{15+x^{2}} ber 2.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

31 lortzeko, gehitu 16 eta 15.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Egin ken 31+x^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-6 lortzeko, 25 balioari kendu 31.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Garatu \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

64 lortzeko, egin 8 ber 2.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

15+x^{2} lortzeko, egin \sqrt{15+x^{2}} ber 2.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 64 eta 15+x^{2} biderkatzeko.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Kendu 960 bi aldeetatik.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

-924 lortzeko, 36 balioari kendu 960.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Kendu 64x^{2} bi aldeetatik.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

-40x^{2} lortzeko, konbinatu 24x^{2} eta -64x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Ordeztu t balioa x^{2} balioarekin.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -40 balioa b balioarekin, eta -924 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Ebatzi t=\frac{40±128}{8} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} denez, t bakoitzarekin x=±\sqrt{t} ebaluatuz lortzen dira soluzioak.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Ordeztu -\sqrt{21} balioa x balioarekin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ekuazioan.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sinplifikatu. x=-\sqrt{21} balioak ez du betetzen ekuazioa, ezker eta eskuineko aldeek kontrako zeinuak baitauzkate.

$$-4=4$$

Ordeztu \sqrt{21} balioa x balioarekin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ekuazioan.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sinplifikatu. x=\sqrt{21} balioak ez du betetzen ekuazioa, ezker eta eskuineko aldeek kontrako zeinuak baitauzkate.

$$-4=4$$

Ordeztu -\sqrt{11}i balioa x balioarekin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ekuazioan.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sinplifikatu. x=-\sqrt{11}i balioak ekuazioa betetzen du.

$$4=4$$

Ordeztu \sqrt{11}i balioa x balioarekin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ekuazioan.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sinplifikatu. x=\sqrt{11}i balioak ekuazioa betetzen du.

$$4=4$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$