Resolver sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Ebatzi: x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Ebazpidea

Egin ken -\sqrt{19-x^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

15+x^{2} lortzeko, egin \sqrt{15+x^{2}} ber 2.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

19-x^{2} lortzeko, egin \sqrt{19-x^{2}} ber 2.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

23 lortzeko, gehitu 4 eta 19.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Egin ken 23-x^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

-8 lortzeko, 15 balioari kendu 23.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-8+2x^{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Garatu \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

16 lortzeko, egin 4 ber 2.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

19-x^{2} lortzeko, egin \sqrt{19-x^{2}} ber 2.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 16 eta 19-x^{2} biderkatzeko.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Kendu 304 bi aldeetatik.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

-240 lortzeko, 64 balioari kendu 304.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Gehitu 16x^{2} bi aldeetan.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

-16x^{2} lortzeko, konbinatu -32x^{2} eta 16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Ordeztu t balioa x^{2} balioarekin.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -16 balioa b balioarekin, eta -240 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Ebatzi t=\frac{16±64}{8} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=10 t=-6$$

x=t^{2} denez, x=±\sqrt{t} ebaluatuz t positiborik dagoen egiaztatuz lortzen dira soluzioak.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Ordeztu \sqrt{10} balioa x balioarekin \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 ekuazioan.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sinplifikatu. x=\sqrt{10} balioak ekuazioa betetzen du.

$$2=2$$

Ordeztu -\sqrt{10} balioa x balioarekin \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 ekuazioan.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sinplifikatu. x=-\sqrt{10} balioak ekuazioa betetzen du.

$$2=2$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$