Resolver sqrt{10x+1}-sqrt{2x}=sqrt{3x+1}

$$\sqrt { 10 x + 1 } - \sqrt { 2 x } = \sqrt { 3 x + 1 }$$

Ebatzi: x

$$x=8$$

$$x=0$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{10x+1}-\sqrt{2x}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{10x+1}\right)^{2}-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}+\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

10x+1 lortzeko, egin \sqrt{10x+1} ber 2.

$$10x+1-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}+\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

2x lortzeko, egin \sqrt{2x} ber 2.

$$10x+1-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}+2x=\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

12x lortzeko, konbinatu 10x eta 2x.

$$12x+1-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}$$

3x+1 lortzeko, egin \sqrt{3x+1} ber 2.

$$12x+1-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=3x+1$$

Egin ken 12x+1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=3x+1-\left(12x+1\right)$$

12x+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=3x+1-12x-1$$

-9x lortzeko, konbinatu 3x eta -12x.

$$-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=-9x+1-1$$

0 lortzeko, 1 balioari kendu 1.

$$-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}=-9x$$

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(-9x\right)^{2}$$

Garatu \left(-2\sqrt{10x+1}\sqrt{2x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{10x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(-9x\right)^{2}$$

4 lortzeko, egin -2 ber 2.

$$4\left(\sqrt{10x+1}\right)^{2}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(-9x\right)^{2}$$

10x+1 lortzeko, egin \sqrt{10x+1} ber 2.

$$4\left(10x+1\right)\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(-9x\right)^{2}$$

2x lortzeko, egin \sqrt{2x} ber 2.

$$4\left(10x+1\right)\times 2x=\left(-9x\right)^{2}$$

8 lortzeko, biderkatu 4 eta 2.

$$8\left(10x+1\right)x=\left(-9x\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 8 eta 10x+1 biderkatzeko.

$$\left(80x+8\right)x=\left(-9x\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 80x+8 eta x biderkatzeko.

$$80x^{2}+8x=\left(-9x\right)^{2}$$

Garatu \left(-9x\right)^{2}.

$$80x^{2}+8x=\left(-9\right)^{2}x^{2}$$

81 lortzeko, egin -9 ber 2.

$$80x^{2}+8x=81x^{2}$$

Kendu 81x^{2} bi aldeetatik.

$$80x^{2}+8x-81x^{2}=0$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 80x^{2} eta -81x^{2}.

$$-x^{2}+8x=0$$

Deskonposatu x.

$$x\left(-x+8\right)=0$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x=0 eta -x+8=0.

$$x=0 x=8$$

Ordeztu 0 balioa x balioarekin \sqrt{10x+1}-\sqrt{2x}=\sqrt{3x+1} ekuazioan.

$$\sqrt{10\times 0+1}-\sqrt{2\times 0}=\sqrt{3\times 0+1}$$

Sinplifikatu. x=0 balioak ekuazioa betetzen du.

$$1=1$$

Ordeztu 8 balioa x balioarekin \sqrt{10x+1}-\sqrt{2x}=\sqrt{3x+1} ekuazioan.

$$\sqrt{10\times 8+1}-\sqrt{2\times 8}=\sqrt{3\times 8+1}$$

Sinplifikatu. x=8 balioak ekuazioa betetzen du.

$$5=5$$

Zerrendatu honen soluzio guztiak: \sqrt{10x+1}-\sqrt{2x}=\sqrt{3x+1}.

$$x=0 x=8$$