Resolver sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(y-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

8 lortzeko, gehitu 4 eta 4.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

x^{2}-4x+8+y^{2}-4y lortzeko, egin \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} ber 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(y-4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

20 lortzeko, gehitu 4 eta 16.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

x^{2}+4x+20+y^{2}-8y lortzeko, egin \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} ber 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

-8x lortzeko, konbinatu -4x eta -4x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

12 lortzeko, 20 balioari kendu 8.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu y^{2} eta -y^{2}.

$$-8x-4y=12-8y$$

Gehitu 4y bi aldeetan.

$$-8x=12-8y+4y$$

-4y lortzeko, konbinatu -8y eta 4y.

$$-8x=12-4y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

-8 balioarekin zatituz gero, -8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Zatitu 12-4y balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Ordeztu \frac{y-3}{2} balioa x balioarekin \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}} ekuazioan.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Sinplifikatu. x=\frac{y-3}{2} balioak ekuazioa betetzen du.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Ebatzi: y

$$y=2x+3$$

Ebazpidea

Egin ekuazioaren bi aldeak ber bi.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(y-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

8 lortzeko, gehitu 4 eta 4.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

x^{2}-4x+8+y^{2}-4y lortzeko, egin \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} ber 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(y-4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

20 lortzeko, gehitu 4 eta 16.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

x^{2}+4x+20+y^{2}-8y lortzeko, egin \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} ber 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Kendu y^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

0 lortzeko, konbinatu y^{2} eta -y^{2}.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Gehitu 8y bi aldeetan.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

4y lortzeko, konbinatu -4y eta 8y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$8+4y=4x+20+4x$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta 4x.

$$8+4y=8x+20$$

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$4y=8x+20-8$$

12 lortzeko, 20 balioari kendu 8.

$$4y=8x+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Zatitu 8x+12 balioa 4 balioarekin.

$$y=2x+3$$

Ordeztu 2x+3 balioa y balioarekin \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}} ekuazioan.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Sinplifikatu. y=2x+3 balioak ekuazioa betetzen du.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ekuazioak soluzio esklusibo bat du.

$$y=2x+3$$