Resolver quadtext{36.If}frac{sqrt{7}-2}{sqrt{7}+2}=asqrt{7}+b

$$\quad \text { 36. If } \frac { \sqrt { 7 } - 2 } { \sqrt { 7 } + 2 } = a \sqrt { 7 } + b$$

Ebatzi: I

$$\left\{\begin{matrix}I=\frac{4\sqrt{7}b+11\sqrt{7}a+11b+28a}{108f}\text{, }&f\neq 0\\I\in \mathrm{R}\text{, }&a=-\frac{\sqrt{7}b}{7}\text{ and }f=0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Adierazi \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider \sqrt{7}-2.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=a\sqrt{7}+b$$

Kasurako: \left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}}=a\sqrt{7}+b$$

Egin \sqrt{7} ber bi. Egin 2 ber bi.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=a\sqrt{7}+b$$

3 lortzeko, 7 balioari kendu 4.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\left(\sqrt{7}-2\right)^{2} lortzeko, biderkatu \sqrt{7}-2 eta \sqrt{7}-2.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\left(\sqrt{7}-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\sqrt{7} zenbakiaren karratua 7 da.

$$36If\times \frac{7-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b$$

11 lortzeko, gehitu 7 eta 4.

$$36If\times \frac{11-4\sqrt{7}}{3}=a\sqrt{7}+b$$

Deuseztatu 36 eta 3 balioen faktore komunetan handiena (3).

$$12\left(11-4\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta 11-4\sqrt{7} biderkatzeko.

$$\left(132-48\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 132-48\sqrt{7} eta I biderkatzeko.

$$\left(132I-48\sqrt{7}I\right)f=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 132I-48\sqrt{7}I eta f biderkatzeko.

$$132If-48\sqrt{7}If=a\sqrt{7}+b$$

Konbinatu I duten gai guztiak.

$$\left(132f-48\sqrt{7}f\right)I=a\sqrt{7}+b$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I=\sqrt{7}a+b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 132f-48\sqrt{7}f balioarekin.

$$\frac{\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I}{-48\sqrt{7}f+132f}=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}$$

132f-48\sqrt{7}f balioarekin zatituz gero, 132f-48\sqrt{7}f balioarekiko biderketa desegiten da.

$$I=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}$$

Zatitu a\sqrt{7}+b balioa 132f-48\sqrt{7}f balioarekin.

$$I=\frac{\left(4\sqrt{7}+11\right)\left(\sqrt{7}a+b\right)}{108f}$$

Ebatzi: a

$$a=-\frac{\sqrt{7}\left(48\sqrt{7}If-132If+b\right)}{7}$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Adierazi \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider \sqrt{7}-2.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=a\sqrt{7}+b$$

Kasurako: \left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}}=a\sqrt{7}+b$$

Egin \sqrt{7} ber bi. Egin 2 ber bi.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=a\sqrt{7}+b$$

3 lortzeko, 7 balioari kendu 4.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\left(\sqrt{7}-2\right)^{2} lortzeko, biderkatu \sqrt{7}-2 eta \sqrt{7}-2.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\left(\sqrt{7}-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36If\times \frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b$$

\sqrt{7} zenbakiaren karratua 7 da.

$$36If\times \frac{7-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b$$

11 lortzeko, gehitu 7 eta 4.

$$36If\times \frac{11-4\sqrt{7}}{3}=a\sqrt{7}+b$$

Deuseztatu 36 eta 3 balioen faktore komunetan handiena (3).

$$12\left(11-4\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta 11-4\sqrt{7} biderkatzeko.

$$\left(132-48\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 132-48\sqrt{7} eta I biderkatzeko.

$$\left(132I-48\sqrt{7}I\right)f=a\sqrt{7}+b$$

Erabili banaketa-propietatea 132I-48\sqrt{7}I eta f biderkatzeko.

$$132If-48\sqrt{7}If=a\sqrt{7}+b$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$a\sqrt{7}+b=132If-48\sqrt{7}If$$

Kendu b bi aldeetatik.

$$a\sqrt{7}=132If-48\sqrt{7}If-b$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\sqrt{7}a=-48\sqrt{7}If+132If-b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{7} balioarekin.

$$\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{7}}=\frac{-48\sqrt{7}If+132If-b}{\sqrt{7}}$$

\sqrt{7} balioarekin zatituz gero, \sqrt{7} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a=\frac{-48\sqrt{7}If+132If-b}{\sqrt{7}}$$

Zatitu -b+132fI-48\sqrt{7}fI balioa \sqrt{7} balioarekin.

$$a=\frac{\sqrt{7}\left(-48\sqrt{7}If+132If-b\right)}{7}$$