Resolver quadtext{17.}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17. } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3.096774194-1.520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3.096774194+1.520925837i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -3,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2\left(x-3\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,x-3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 17 eta 2x-6 biderkatzeko.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 34x-102 eta x-3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+6 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

36x^{2} lortzeko, konbinatu 34x^{2} eta 2x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

-192x lortzeko, konbinatu -204x eta 12x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

324 lortzeko, gehitu 306 eta 18.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-9 eta 5 biderkatzeko.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

31x^{2} lortzeko, konbinatu 36x^{2} eta -5x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Gehitu 45 bi aldeetan.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

369 lortzeko, gehitu 324 eta 45.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 31 balioa a balioarekin, -192 balioa b balioarekin, eta 369 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Egin -192 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Egin -4 bider 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Egin -124 bider 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Gehitu 36864 eta -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Atera -8892 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

-192 zenbakiaren aurkakoa 192 da.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Egin 2 bider 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Orain, ebatzi x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 192 eta 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Zatitu 192+6i\sqrt{247} balioa 62 balioarekin.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Orain, ebatzi x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} ekuazioa ± minus denean. Egin 6i\sqrt{247} ken 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Zatitu 192-6i\sqrt{247} balioa 62 balioarekin.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -3,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2\left(x-3\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,x-3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 17 eta 2x-6 biderkatzeko.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 34x-102 eta x-3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+6 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

36x^{2} lortzeko, konbinatu 34x^{2} eta 2x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

-192x lortzeko, konbinatu -204x eta 12x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

324 lortzeko, gehitu 306 eta 18.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-9 eta 5 biderkatzeko.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

31x^{2} lortzeko, konbinatu 36x^{2} eta -5x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Kendu 324 bi aldeetatik.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

-369 lortzeko, -45 balioari kendu 324.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 31 balioarekin.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

31 balioarekin zatituz gero, 31 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Zatitu -\frac{192}{31} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{96}{31} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{96}{31} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Egin -\frac{96}{31} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Gehitu -\frac{369}{31} eta \frac{9216}{961} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Atera x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Gehitu \frac{96}{31} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$