Resolver {l}{x-y=4}{3x-y=7}

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+4$$

Ordeztu y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=7).

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

Egin 3 bider y+4.

$$3y+12-y=7$$

Gehitu 3y eta -y.

$$2y+12=7$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} y balioarekin x=y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Egin 3x-y=7 ken x-y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-3x-y+y=4-7$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-3x=4-7$$

Gehitu x eta -3x.

$$-2x=4-7$$

Gehitu 4 eta -7.

$$-2x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} x balioarekin 3x-y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

Egin 3 bider \frac{3}{2}.

$$\frac{9}{2}-y=7$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$