Resolver {l}{5x+2y=29}{2x-3y=4}

$$\left.\begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 29 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=29,2x-3y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=29$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y+29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+29\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y+29.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{29}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y+29}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=4).

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{29}{5}\right)-3y=4$$

Egin 2 bider \frac{-2y+29}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{58}{5}-3y=4$$

Gehitu -\frac{4y}{5} eta -3y.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{58}{5}=4$$

Egin ken \frac{58}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{2}{5}y+\frac{29}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{29}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider 2.

$$x=\frac{-4+29}{5}$$

Gehitu \frac{29}{5} eta -\frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=29,2x-3y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 29+\frac{2}{19}\times 4\\\frac{2}{19}\times 29-\frac{5}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=29,2x-3y=4$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 29,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4$$

Sinplifikatu.

$$10x+4y=58,10x-15y=20$$

Egin 10x-15y=20 ken 10x+4y=58 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+4y+15y=58-20$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+15y=58-20$$

Gehitu 4y eta 15y.

$$19y=58-20$$

Gehitu 58 eta -20.

$$19y=38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-3y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times 2=4$$

Egin -3 bider 2.

$$2x-6=4$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=2$$