Resolver {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+2y biderkatzeko.

$$4x+8y-x=-y$$

3x lortzeko, konbinatu 4x eta -x.

$$3x+8y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$3x+8y+y=0$$

9y lortzeko, konbinatu 8y eta y.

$$3x+9y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+9y=0$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-9y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Egin \frac{1}{3} bider -9y.

$$x=-3y$$

Ordeztu -3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-2y=-4).

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Egin -2 bider -3y.

$$6y-2y=-4$$

Gehitu 6y eta -2y.

$$4y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-3y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\left(-1\right)$$

Egin -3 bider -1.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+2y biderkatzeko.

$$4x+8y-x=-y$$

3x lortzeko, konbinatu 4x eta -x.

$$3x+8y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$3x+8y+y=0$$

9y lortzeko, konbinatu 8y eta y.

$$3x+9y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+2y biderkatzeko.

$$4x+8y-x=-y$$

3x lortzeko, konbinatu 4x eta -x.

$$3x+8y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$3x+8y+y=0$$

9y lortzeko, konbinatu 8y eta y.

$$3x+9y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

3x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Egin -6x-6y=-12 ken -6x-18y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y+6y=12$$

Gehitu -18y eta 6y.

$$-12y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -2x-2y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Egin -2 bider -1.

$$-2x+2=-4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-1$$