Resolver {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$10x+2y=-78$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=-2y-78$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

Egin \frac{1}{10} bider -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

Ordeztu \frac{-y-39}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x-2y=-29).

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

Egin -3 bider \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

Egin ken \frac{117}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{262}{7}$$

Ordeztu \frac{262}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{262}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Gehitu -\frac{39}{5} eta -\frac{262}{35} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

10x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 10 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Sinplifikatu.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

Egin -30x-20y=-290 ken -30x-6y=234 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

Gehitu -30x eta 30x. Sinplifikatu egiten dira -30x eta 30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+20y=234+290$$

Gehitu -6y eta 20y.

$$14y=234+290$$

Gehitu 234 eta 290.

$$14y=524$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=\frac{262}{7}$$

Ordeztu \frac{262}{7} y balioarekin -3x-2y=-29 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

Egin -2 bider \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Gehitu \frac{524}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$