Resolver {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x-2y-x=-y$$

-2x lortzeko, konbinatu -x eta -x.

$$-2x-2y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x-2y+y=0$$

-y lortzeko, konbinatu -2y eta y.

$$-2x-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x-y=0$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Ordeztu -\frac{y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-2y=-4).

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

Egin -2 bider -\frac{y}{2}.

$$y-2y=-4$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

Egin -\frac{1}{2} bider 4.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x-2y-x=-y$$

-2x lortzeko, konbinatu -x eta -x.

$$-2x-2y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x-2y+y=0$$

-y lortzeko, konbinatu -2y eta y.

$$-2x-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x+2y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x-2y-x=-y$$

-2x lortzeko, konbinatu -x eta -x.

$$-2x-2y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x-2y+y=0$$

-y lortzeko, konbinatu -2y eta y.

$$-2x-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-3x-2y=-4-x$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x lortzeko, konbinatu -3x eta x.

$$-2x-2y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Egin -2x-2y=-4 ken -2x-y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-y+2y=4$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+2y=4$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin -2x-2y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-2\times 4=-4$$

Egin -2 bider 4.

$$-2x-8=-4$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=4$$