Resolver {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=-8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$27+4y+4x=3$$

Kendu 27 bi aldeetatik.

$$4y+4x=3-27$$

-24 lortzeko, 3 balioari kendu 27.

$$4y+4x=-24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$8x+3y=-8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4y+4x=-24$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=-4x-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -4x-24.

$$y=-x-6$$

Ordeztu -x-6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (3y+8x=-8).

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

Egin 3 bider -x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

Gehitu -3x eta 8x.

$$5x-18=-8$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-x-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2-6$$

Gehitu -6 eta -2.

$$y=-8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-8,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$27+4y+4x=3$$

Kendu 27 bi aldeetatik.

$$4y+4x=3-27$$

-24 lortzeko, 3 balioari kendu 27.

$$4y+4x=-24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$8x+3y=-8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-8,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$27+4y+4x=3$$

Kendu 27 bi aldeetatik.

$$4y+4x=3-27$$

-24 lortzeko, 3 balioari kendu 27.

$$4y+4x=-24$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$8x+3y=-8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y eta 3y berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

Egin 12y+32x=-32 ken 12y+12x=-72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

Gehitu 12y eta -12y. Sinplifikatu egiten dira 12y eta -12y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12x-32x=-72+32$$

Gehitu 12x eta -32x.

$$-20x=-72+32$$

Gehitu -72 eta 32.

$$-20x=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin 3y+8x=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y+8\times 2=-8$$

Egin 8 bider 2.

$$3y+16=-8$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-8,x=2$$