Resolver {l}{x+y=64}{-0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ - 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{1645}{38} = 43\frac{11}{38} \approx 43.289473684$$

$$y = \frac{787}{38} = 20\frac{27}{38} \approx 20.710526316$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=64$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+64$$

Ordeztu -y+64 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.12x+0.26y=0.19).

$$-0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

Egin -0.12 bider -y+64.

$$0.12y-7.68+0.26y=0.19$$

Gehitu \frac{3y}{25} eta \frac{13y}{50}.

$$0.38y-7.68=0.19$$

Gehitu 7.68 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.38y=7.87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.38 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{787}{38}$$

Ordeztu \frac{787}{38} y balioarekin x=-y+64 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{787}{38}+64$$

Gehitu 64 eta -\frac{787}{38}.

$$x=\frac{1645}{38}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-\left(-0.12\right)}&-\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\\-\frac{-0.12}{0.26-\left(-0.12\right)}&\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{50}{19}\\\frac{6}{19}&\frac{50}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64-\frac{50}{19}\times 0.19\\\frac{6}{19}\times 64+\frac{50}{19}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1645}{38}\\\frac{787}{38}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

x eta -\frac{3x}{25} berdintzeko, biderkatu -0.12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.12x-0.12y=-0.12\times 64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Sinplifikatu.

$$-0.12x-0.12y=-7.68,-0.12x+0.26y=0.19$$

Egin -0.12x+0.26y=0.19 ken -0.12x-0.12y=-7.68 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.12x+0.12x-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

Gehitu -\frac{3x}{25} eta \frac{3x}{25}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{3x}{25} eta \frac{3x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

Gehitu -\frac{3y}{25} eta -\frac{13y}{50}.

$$-0.38y=-7.68-0.19$$

Gehitu -7.68 eta -0.19 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.38y=-7.87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.38 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{787}{38}$$

Ordeztu \frac{787}{38} y balioarekin -0.12x+0.26y=0.19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.12x+0.26\times \frac{787}{38}=0.19$$

Egin 0.26 bider \frac{787}{38}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-0.12x+\frac{10231}{1900}=0.19$$

Egin ken \frac{10231}{1900} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.12x=-\frac{987}{190}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.12 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{1645}{38}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$