Resolver {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$m+n=-3$$

Egin ken n ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=-n-3$$

Ordeztu -n-3 balioa m balioarekin beste ekuazioan (-3m+2n=1).

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

Egin -3 bider -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

Gehitu 3n eta 2n.

$$5n+9=1$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5n=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Ordeztu -\frac{8}{5} n balioarekin m=-n-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

Egin -1 bider -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

Gehitu -3 eta \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

m eta -3m berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

Sinplifikatu.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

Egin -3m+2n=1 ken -3m-3n=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

Gehitu -3m eta 3m. Sinplifikatu egiten dira -3m eta 3m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3n-2n=9-1$$

Gehitu -3n eta -2n.

$$-5n=9-1$$

Gehitu 9 eta -1.

$$-5n=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Ordeztu -\frac{8}{5} n balioarekin -3m+2n=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

Egin 2 bider -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

Gehitu \frac{16}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$