Resolver {l}{8x+9y=3}{x+y=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x + 9 y = 3 }\\{ x + y = 0 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+9y=3$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-9y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y+3\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -9y+3.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}$$

Ordeztu \frac{-9y+3}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=0).

$$-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}+y=0$$

Gehitu -\frac{9y}{8} eta y.

$$-\frac{1}{8}y+\frac{3}{8}=0$$

Egin ken \frac{3}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{3}{8}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{8}\times 3+\frac{3}{8}$$

Egin -\frac{9}{8} bider 3.

$$x=\frac{-27+3}{8}$$

Gehitu \frac{3}{8} eta -\frac{27}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-9}&-\frac{9}{8-9}\\-\frac{1}{8-9}&\frac{8}{8-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&9\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

8x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8x+9y=3,8x+8y=0$$

Egin 8x+8y=0 ken 8x+9y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+9y-8y=3$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-8y=3$$

Gehitu 9y eta -8y.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x+y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=3$$