Resolver {l}{70x+190y=2035}{x+y=14.5}

$$\left. \begin{array}{l}{ 70 x + 190 y = 2035 }\\{ x + y = 14.5 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=8.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$70x+190y=2035$$

Egin ken 190y ekuazioaren bi aldeetan.

$$70x=-190y+2035$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 70 balioarekin.

$$x=\frac{1}{70}\left(-190y+2035\right)$$

Egin \frac{1}{70} bider -190y+2035.

$$x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}$$

Ordeztu -\frac{19y}{7}+\frac{407}{14} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=14.5).

$$-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}+y=14.5$$

Gehitu -\frac{19y}{7} eta y.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{407}{14}=14.5$$

Egin ken \frac{407}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{12}{7}y=-\frac{102}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{12}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{17}{2}$$

Ordeztu \frac{17}{2} y balioarekin x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{19}{7}\times \frac{17}{2}+\frac{407}{14}$$

Egin -\frac{19}{7} bider \frac{17}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-323+407}{14}$$

Gehitu \frac{407}{14} eta -\frac{323}{14} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{70-190}&-\frac{190}{70-190}\\-\frac{1}{70-190}&\frac{70}{70-190}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}&\frac{19}{12}\\\frac{1}{120}&-\frac{7}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}\times 2035+\frac{19}{12}\times 14.5\\\frac{1}{120}\times 2035-\frac{7}{12}\times 14.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

70x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 70 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$70x+190y=2035,70x+70y=70\times 14.5$$

Sinplifikatu.

$$70x+190y=2035,70x+70y=1015$$

Egin 70x+70y=1015 ken 70x+190y=2035 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$70x-70x+190y-70y=2035-1015$$

Gehitu 70x eta -70x. Sinplifikatu egiten dira 70x eta -70x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$190y-70y=2035-1015$$

Gehitu 190y eta -70y.

$$120y=2035-1015$$

Gehitu 2035 eta -1015.

$$120y=1020$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$y=\frac{17}{2}$$

Ordeztu \frac{17}{2} y balioarekin x+y=14.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{17}{2}=14.5$$

Egin ken \frac{17}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$