Resolver {l}{60x+60y=1170-300}{70x+140y=2035}

$$\left. \begin{array}{l}{ 60 x + 60 y = 1170 - 300 }\\{ 70 x + 140 y = 2035 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{14}\approx -0.071428571$$

$$y = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7} \approx 14.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$60x+60y=870$$

Egin ken 60y ekuazioaren bi aldeetan.

$$60x=-60y+870$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 60 balioarekin.

$$x=\frac{1}{60}\left(-60y+870\right)$$

Egin \frac{1}{60} bider -60y+870.

$$x=-y+\frac{29}{2}$$

Ordeztu -y+\frac{29}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (70x+140y=2035).

$$70\left(-y+\frac{29}{2}\right)+140y=2035$$

Egin 70 bider -y+\frac{29}{2}.

$$-70y+1015+140y=2035$$

Gehitu -70y eta 140y.

$$70y+1015=2035$$

Egin ken 1015 ekuazioaren bi aldeetan.

$$70y=1020$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 70 balioarekin.

$$y=\frac{102}{7}$$

Ordeztu \frac{102}{7} y balioarekin x=-y+\frac{29}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{102}{7}+\frac{29}{2}$$

Gehitu \frac{29}{2} eta -\frac{102}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{14}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{60\times 140-60\times 70}&-\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\\-\frac{70}{60\times 140-60\times 70}&\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{70}\\-\frac{1}{60}&\frac{1}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 870-\frac{1}{70}\times 2035\\-\frac{1}{60}\times 870+\frac{1}{70}\times 2035\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\\\frac{102}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

60x eta 70x berdintzeko, biderkatu 70 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 60 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$70\times 60x+70\times 60y=70\times 870,60\times 70x+60\times 140y=60\times 2035$$

Sinplifikatu.

$$4200x+4200y=60900,4200x+8400y=122100$$

Egin 4200x+8400y=122100 ken 4200x+4200y=60900 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4200x-4200x+4200y-8400y=60900-122100$$

Gehitu 4200x eta -4200x. Sinplifikatu egiten dira 4200x eta -4200x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4200y-8400y=60900-122100$$

Gehitu 4200y eta -8400y.

$$-4200y=60900-122100$$

Gehitu 60900 eta -122100.

$$-4200y=-61200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4200 balioarekin.

$$y=\frac{102}{7}$$

Ordeztu \frac{102}{7} y balioarekin 70x+140y=2035 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$70x+140\times \frac{102}{7}=2035$$

Egin 140 bider \frac{102}{7}.

$$70x+2040=2035$$

Egin ken 2040 ekuazioaren bi aldeetan.

$$70x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 70 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{14}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$