Resolver {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-4y=-7$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=4y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{4y-7}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6x+8y=2).

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Egin -6 bider \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Gehitu -\frac{24y}{5} eta 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Egin ken \frac{42}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{16}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Egin \frac{4}{5} bider -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Gehitu -\frac{7}{5} eta -\frac{8}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

5x eta -6x berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Sinplifikatu.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Egin -30x+40y=10 ken -30x+24y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Gehitu -30x eta 30x. Sinplifikatu egiten dira -30x eta 30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y-40y=42-10$$

Gehitu 24y eta -40y.

$$-16y=42-10$$

Gehitu 42 eta -10.

$$-16y=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -6x+8y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Egin 8 bider -2.

$$-6x-16=2$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-2$$